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滑动窗口算法

滑动窗口算法

滑动窗口框架套路详解

在滑动窗口算法框架中,我编写一首小诗来歌颂滑动窗口算法的伟大:

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关于双指针的快慢指针和左右指针的用法,可以参见前文 双指针技巧汇总本文就解决一类最难掌握的双指针技巧:滑动窗口技巧,并总结出一套框架,可以保你闭着眼直接套出答案。

说起滑动窗口算法,很多读者都会头疼。这个算法技巧的思路非常简单,就是维护一个窗口,不断滑动,然后更新答案么。LeetCode 上有起码 10 道运用滑动窗口算法的题目,难度都是中等和困难。该算法的大致逻辑如下:

int left = 0, right = 0;

while (right < s.size()) {
    // 增大窗口
    window.add(s[right]);
    right++;

    while (window needs shrink) {
        // 缩小窗口
        window.remove(s[left]);
        left++;
    }
}

这个算法技巧的时间复杂度是 O(N),比一般的字符串暴力算法要高效得多。

其实困扰大家的,不是算法的思路,而是各种细节问题。比如说如何向窗口中添加新元素,如何缩小窗口,在窗口滑动的哪个阶段更新结果。即便你明白了这些细节,也容易出 bug,找 bug 还不知道怎么找,真的挺让人心烦的。

所以今天我就写一套滑动窗口算法的代码框架,我连在哪里做输出 debug 都给你写好了,以后遇到相关的问题,你就默写出来如下框架然后改三个地方就行,还不会出边界问题

/* 滑动窗口算法框架 */
void slidingWindow(string s, string t) {
    unordered_map<char, int> need, window;
    for (char c : t) need[c]++;

    int left = 0, right = 0;
    int valid = 0; 
    while (right < s.size()) {
        // c 是将移入窗口的字符
        char c = s[right];
        // 右移窗口
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        ...

        /*** debug 输出的位置 ***/
        printf("window: [%d, %d)\n", left, right);
        /********************/

        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (window needs shrink) {
            // d 是将移出窗口的字符
            char d = s[left];
            // 左移窗口
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            ...
        }
    }
}

其中两处...表示的更新窗口数据的地方,到时候你直接往里面填就行了

而且,这两个...处的操作分别是右移和左移窗口更新操作,等会你会发现它们操作是完全对称的。

**说句题外话,其实有很多人喜欢执着于表象,不喜欢探求问题的本质。**比如说有很多人评论我这个框架,说什么散列表速度慢,不如用数组代替散列表;还有很多人喜欢把代码写得特别短小,说我这样代码太多余,影响编译速度,LeetCode 上速度不够快。

我也是服了,算法看的是时间复杂度,你能确保自己的时间复杂度最优就行了。至于 LeetCode 所谓的运行速度,那个都是玄学,只要不是慢的离谱就没啥问题,根本不值得你从编译层面优化,不要舍本逐末……

重点在于算法思想,你把框架思维了然于心套出解法,然后随你再魔改代码好吧,你高兴就好。

言归正传,下面就直接上*四道* LeetCode 原题来套这个框架,其中第一道题会详细说明其原理,后面四道就直接闭眼睛秒杀了。

本文代码为 C++ 实现,不会用到什么编程方面的奇技淫巧,但是还是简单介绍一下一些用到的数据结构,以免有的读者因为语言的细节问题阻碍对算法思想的理解:

unordered_map就是哈希表(字典),它的一个方法count(key)相当于 Java 的containsKey(key)可以判断键 key 是否存在。

可以使用方括号访问键对应的值map[key]。需要注意的是,如果该key不存在,C++ 会自动创建这个 key,并把map[key]赋值为 0。

所以代码中多次出现的map[key]++相当于 Java 的map.put(key, map.getOrDefault(key, 0) + 1)

一、最小覆盖子串

LeetCode 76 题,Minimum Window Substring,难度 Hard,我带大家看看它到底有多 Hard

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就是说要在S(source) 中找到包含T(target) 中全部字母的一个子串,且这个子串一定是所有可能子串中最短的。

如果我们使用暴力解法,代码大概是这样的:

for (int i = 0; i < s.size(); i++)
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++)
        if s[i:j] 包含 t 的所有字母:
            更新答案

思路很直接,但是显然,这个算法的复杂度肯定大于 O(N^2) 了,不好。

滑动窗口算法的思路是这样

***1、***我们在字符串S中使用双指针中的左右指针技巧,初始化left = right = 0把索引左闭右开区间[left, right)称为一个「窗口」

***2、***我们先不断地增加right指针扩大窗口[left, right),直到窗口中的字符串符合要求(包含了T中的所有字符)。

***3、***此时,我们停止增加right,转而不断增加left指针缩小窗口[left, right),直到窗口中的字符串不再符合要求(不包含T中的所有字符了)。同时,每次增加left,我们都要更新一轮结果。

***4、***重复第 2 和第 3 步,直到right到达字符串S的尽头。

这个思路其实也不难,**第 2 步相当于在寻找一个「可行解」,然后第 3 步在优化这个「可行解」,最终找到最优解,**也就是最短的覆盖子串。左右指针轮流前进,窗口大小增增减减,窗口不断向右滑动,这就是「滑动窗口」这个名字的来历。

下面画图理解一下,needswindow相当于计数器,分别记录T中字符出现次数和「窗口」中的相应字符的出现次数。

初始状态:

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增加right,直到窗口[left, right)包含了T中所有字符:

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现在开始增加left,缩小窗口[left, right)

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直到窗口中的字符串不再符合要求,left不再继续移动。

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之后重复上述过程,先移动right,再移动left…… 直到right指针到达字符串S的末端,算法结束。

如果你能够理解上述过程,恭喜,你已经完全掌握了滑动窗口算法思想。现在我们来看看这个滑动窗口代码框架怎么用

首先,初始化windowneed两个哈希表,记录窗口中的字符和需要凑齐的字符:

unordered_map<char, int> need, window;
for (char c : t) need[c]++;

然后,使用leftright变量初始化窗口的两端,不要忘了,区间[left, right)是左闭右开的,所以初始情况下窗口没有包含任何元素:

int left = 0, right = 0;
int valid = 0; 
while (right < s.size()) {
    // 开始滑动
}

其中valid变量表示窗口中满足need条件的字符个数,如果validneed.size的大小相同,则说明窗口已满足条件,已经完全覆盖了串T

现在开始套模板,只需要思考以下四个问题

**1、**当移动right扩大窗口,即加入字符时,应该更新哪些数据?

**2、**什么条件下,窗口应该暂停扩大,开始移动left缩小窗口?

**3、**当移动left缩小窗口,即移出字符时,应该更新哪些数据?

**4、**我们要的结果应该在扩大窗口时还是缩小窗口时进行更新?

如果一个字符进入窗口,应该增加window计数器;如果一个字符将移出窗口的时候,应该减少window计数器;当valid满足need时应该收缩窗口;应该在收缩窗口的时候更新最终结果。

下面是完整代码:

string minWindow(string s, string t) {
    unordered_map<char, int> need, window;
    for (char c : t) need[c]++;

    int left = 0, right = 0;
    int valid = 0;
    // 记录最小覆盖子串的起始索引及长度
    int start = 0, len = INT_MAX;
    while (right < s.size()) {
        // c 是将移入窗口的字符
        char c = s[right];
        // 右移窗口
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        if (need.count(c)) {
            window[c]++;
            if (window[c] == need[c])
                valid++;
        }

        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (valid == need.size()) {
            // 在这里更新最小覆盖子串
            if (right - left < len) {
                start = left;
                len = right - left;
            }
            // d 是将移出窗口的字符
            char d = s[left];
            // 左移窗口
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            if (need.count(d)) {
                if (window[d] == need[d])
                    valid--;
                window[d]--;
            }                    
        }
    }
    // 返回最小覆盖子串
    return len == INT_MAX ?
        "" : s.substr(start, len);
}

需要注意的是,当我们发现某个字符在window的数量满足了need的需要,就要更新valid,表示有一个字符已经满足要求。而且,你能发现,两次对窗口内数据的更新操作是完全对称的。

valid == need.size()时,说明T中所有字符已经被覆盖,已经得到一个可行的覆盖子串,现在应该开始收缩窗口了,以便得到「最小覆盖子串」。

移动left收缩窗口时,窗口内的字符都是可行解,所以应该在收缩窗口的阶段进行最小覆盖子串的更新,以便从可行解中找到长度最短的最终结果。

至此,应该可以完全理解这套框架了,滑动窗口算法又不难,就是细节问题让人烦得很。以后遇到滑动窗口算法,你就按照这框架写代码,保准没有 bug,还省事儿

下面就直接利用这套框架秒杀几道题吧,你基本上一眼就能看出思路了。

二、字符串排列

LeetCode 567 题,Permutation in String,难度 Medium:

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注意哦,输入的s1是可以包含重复字符的,所以这个题难度不小。

这种题目,是明显的滑动窗口算法,相当给你一个S和一个T,请问你S中是否存在一个子串,包含T中所有字符且不包含其他字符

首先,先复制粘贴之前的算法框架代码,然后明确刚才提出的 4 个问题,即可写出这道题的答案:

// 判断 s 中是否存在 t 的排列
bool checkInclusion(string t, string s) {
    unordered_map<char, int> need, window;
    for (char c : t) need[c]++;

    int left = 0, right = 0;
    int valid = 0;
    while (right < s.size()) {
        char c = s[right];
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        if (need.count(c)) {
            window[c]++;
            if (window[c] == need[c])
                valid++;
        }

        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (right - left >= t.size()) {
            // 在这里判断是否找到了合法的子串
            if (valid == need.size())
                return true;
            char d = s[left];
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            if (need.count(d)) {
                if (window[d] == need[d])
                    valid--;
                window[d]--;
            }
        }
    }
    // 未找到符合条件的子串
    return false;
}

对于这道题的解法代码,基本上和最小覆盖子串一模一样,只需要改变两个地方:

**1、**本题移动left缩小窗口的时机是窗口大小大于t.size()时,因为排列嘛,显然长度应该是一样的。

**2、**当发现valid == need.size()时,就说明窗口中就是一个合法的排列,所以立即返回true

至于如何处理窗口的扩大和缩小,和最小覆盖子串完全相同。

三、找所有字母异位词

这是 LeetCode 第 438 题,Find All Anagrams in a String,难度 Medium:

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呵呵,这个所谓的字母异位词,不就是排列吗,搞个高端的说法就能糊弄人了吗?相当于,输入一个串S,一个串T,找到S中所有T的排列,返回它们的起始索引

直接默写一下框架,明确刚才讲的 4 个问题,即可秒杀这道题:

vector<int> findAnagrams(string s, string t) {
    unordered_map<char, int> need, window;
    for (char c : t) need[c]++;

    int left = 0, right = 0;
    int valid = 0;
    vector<int> res; // 记录结果
    while (right < s.size()) {
        char c = s[right];
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        if (need.count(c)) {
            window[c]++;
            if (window[c] == need[c]) 
                valid++;
        }
        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (right - left >= t.size()) {
            // 当窗口符合条件时,把起始索引加入 res
            if (valid == need.size())
                res.push_back(left);
            char d = s[left];
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            if (need.count(d)) {
                if (window[d] == need[d])
                    valid--;
                window[d]--;
            }
        }
    }
    return res;
}

跟寻找字符串的排列一样,只是找到一个合法异位词(排列)之后将起始索引加入res即可。

四、最长无重复子串

这是 LeetCode 第 3 题,Longest Substring Without Repeating Characters,难度 Medium:

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这个题终于有了点新意,不是一套框架就出答案,不过反而更简单了,稍微改一改框架就行了:

int lengthOfLongestSubstring(string s) {
    unordered_map<char, int> window;

    int left = 0, right = 0;
    int res = 0; // 记录结果
    while (right < s.size()) {
        char c = s[right];
        right++;
        // 进行窗口内数据的一系列更新
        window[c]++;
        // 判断左侧窗口是否要收缩
        while (window[c] > 1) {
            char d = s[left];
            left++;
            // 进行窗口内数据的一系列更新
            window[d]--;
        }
        // 在这里更新答案
        res = max(res, right - left);
    }
    return res;
}

这就是变简单了,连needvalid都不需要,而且更新窗口内数据也只需要简单的更新计数器window即可。

window[c]值大于 1 时,说明窗口中存在重复字符,不符合条件,就该移动left缩小窗口了嘛。

唯一需要注意的是,在哪里更新结果res呢?我们要的是最长无重复子串,哪一个阶段可以保证窗口中的字符串是没有重复的呢?

这里和之前不一样,要在收缩窗口完成后更新res,因为窗口收缩的 while 条件是存在重复元素,换句话说收缩完成后一定保证窗口中没有重复嘛。

五、最后总结

建议背诵并默写这套框架,顺便背诵一下文章开头的那首诗。以后就再也不怕子串、子数组问题了。

我觉得吧,能够看到这的都是高手,要么就是在成为高手的路上。有了框架,任他窗口怎么滑,东哥这波车开得依然稳如老狗。